Blog by T'nT

カンパイの回数…

えぇー、お待ちかねの回答編です。え゛っ、誰も待ってない！？って…

問題１は「５人で乾杯して、各自が必ず他の人と１回ジョッキをぶつけるとして、全員で何回、ジョッキがぶつかったでしょう？」でした。分かりやすいように、５人をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとしましょう。

まず、Ａは、自分以外のＢ～Ｅの４人とカンパイするので４回カウントします。次にＢは、既にＡとはカンパイしてしまったので、残るＣ～Ｅとカンパイして３回です。Ｃはというと、ＡともＢともしてしまったので２回。ＤはＥと１回。Ｅは既に他の人で全部カウント済みなので０回。というわけで、４＋３＋２＋１＋０＝10回が正解でーす。

じゃぁ、もし、100人、いや1000人いたらぁ…

この方法だと、人数が増えたら、とっても大変（そんな人数、誰も数えません！）。というわけで、もう少し、考えを変えてみましょう。

誰もが、「自分以外の全員」とカンパイするので、一人あたり、５人だったら４回、100人だったら99回、1000人だったら999回、カンパイするわけです。それが全部で５人（100人、1000人）いるわけですから、最初に掛け算（５×４、100×99、1000×999）してしまいます。でも、こうすると１回のカンパイを２人でダブル・カウントしてしまいますから、回数という意味では、２で割らないといけません。５人だったら、（５×４）÷２＝10と、ほぉら正解！。これなら、何人になっても、怖くありません！（だから、誰も、数えない、ってば）
５人の場合、どの人からも他の４人に矢印が伸びて…。５人全員で５×４本だけど、１本を２度カウントしてるから、全部で10本！

応用編…

えーっと、数学的には、これを「ｎ個の中から２個を選ぶ組み合わせ」と言って、記号「_nＣ₂」と表記し、

^*！は階乗記号で、ｎ！＝ｎ×（ｎ－１）×（ｎ－２）×…×２×１

となります。つまり100人だったら、100×99÷２＝4950回。実は、カンパイの数以外にも、同じ計算で以下のような数が求められますネ（求めてどうするの！？）

• ｎ人が集まって全員が１回ずつ握手をした時の握手の総数…
• ｎ頭だて競馬レースでの「馬連」馬券の種類…

さらに応用編…

「ｎ個の中からｒ個を選ぶ組み合わせ（１≦ｒ≦ｎ）」は、「_nＣ_r」と表記し、

となります。さぁ、これで、問題２も答えが出せます！ まだ、このネタでもう１回、引っ張ります（書きだしちゃったからねぇ、仕方ない…）