[096] 当たりぃ~[回答編] ― 2007/06/30 23:51:36
カンパイの回数…
えぇー、お待ちかねの回答編です。え゛っ、誰も待ってない!?って…
問題1は「5人で乾杯して、各自が必ず他の人と1回ジョッキをぶつけるとして、全員で何回、ジョッキがぶつかったでしょう?」でした。分かりやすいように、5人をA、B、C、D、Eとしましょう。
まず、Aは、自分以外のB~Eの4人とカンパイするので4回カウントします。次にBは、既にAとはカンパイしてしまったので、残るC~Eとカンパイして3回です。Cはというと、AともBともしてしまったので2回。DはEと1回。Eは既に他の人で全部カウント済みなので0回。というわけで、4+3+2+1+0=10回が正解でーす。
じゃぁ、もし、100人、いや1000人いたらぁ…
この方法だと、人数が増えたら、とっても大変(そんな人数、誰も数えません!)。というわけで、もう少し、考えを変えてみましょう。
誰もが、「自分以外の全員」とカンパイするので、一人あたり、5人だったら4回、100人だったら99回、1000人だったら999回、カンパイするわけです。それが全部で5人(100人、1000人)いるわけですから、最初に掛け算(5×4、100×99、1000×999)してしまいます。でも、こうすると1回のカンパイを2人でダブル・カウントしてしまいますから、回数という意味では、2で割らないといけません。5人だったら、(5×4)÷2=10と、ほぉら正解!。これなら、何人になっても、怖くありません!(だから、誰も、数えない、ってば)
5人の場合、どの人からも他の4人に矢印が伸びて…。5人全員で5×4本だけど、1本を2度カウントしてるから、全部で10本!
応用編…
えーっと、数学的には、これを「n個の中から2個を選ぶ組み合わせ」と言って、記号「nC2」と表記し、
*!は階乗記号で、n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1
となります。つまり100人だったら、100×99÷2=4950回。実は、カンパイの数以外にも、同じ計算で以下のような数が求められますネ(求めてどうするの!?)
- n人が集まって全員が1回ずつ握手をした時の握手の総数…
- n頭だて競馬レースでの「馬連」馬券の種類…
さらに応用編…
「n個の中からr個を選ぶ組み合わせ(1≦r≦n)」は、「nCr」と表記し、
となります。さぁ、これで、問題2も答えが出せます!
まだ、このネタでもう1回、引っ張ります(書きだしちゃったからねぇ、仕方ない…)
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